Man betrachtet häufig zwei unterschiedliche, bei sinnvoller Definition aber äquivalente, Konstruktionsverfahren, die so genannte Konstruktion von oben und von unten.

Bei der Konstruktion von oben betrachtet man den Schnitt aller Unterräume, welche das Erzeugendensystem umfassen. Da das Erzeugendensystem Teilmenge des betrachteten Raumes ist, ist immer der Raum selbst ein Unterraum, welcher das Erzeugendensystem umfasst. Das ist wichtig, damit die Definition sinnvoll ist, da der Schnitt über eine leere Menge selbst keine Menge ist.

Bei der Konstruktion von unten betrachtet man die Menge der möglichen Strukturkombinationen mit Elementen aus dem Erzeugendensystem. Beim Vektorraum etwa die Menge der Linearkombinationen mit Elementen des Erzeugendensystems.

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und . Dann ist

ein Teilvektorraum von V und heißt das (Vektorraum-)Erzeugnis von E auf V.

Hinweise:

• Ist , so bezeichnet man E ein Erzeugendensystem von V.
• Ist E zusätzlich minimal, so bezeichnet man E eine Basis von V.

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und . Dann ist:

ist der kleinste K Vektorraum der E enthält.

Alle Elemente von lassen sich als Linearkombination von Elementen aus E über K schreiben.

Sei X eine Menge und . Dann ist

eine Topologie auf X und heißt das topologische Erzeugnis von auf X.

Sei X eine Menge und . Setze

Dann ist:

ist die kleinste (feinste) Topologie, so dass alle Elemente von offen sind.

Alle Elemente von lassen sich als Vereinigung von endlichen Schnitten über darstellen.